日用品企業でフラクタル研究？常識を超えた「究極の水玉」が完成するまで

さらに、フラクタルには「小数の次元」で表されるという特徴もある。たとえば、図2のコッホ曲線は約1.26次元だ。詳細については数学の参考書に譲らせもらうが、1と2と3の間の次元が出てくる……という心の準備だけしてもらえたらと思う。

さっそく頭がこんがらがってきた人も、ひとまず身近にあるフラクタルをご覧いただきたい。下の写真はカリフラワーの仲間であるロマネスコという野菜だ。他にも、リアス式海岸の地形、入道雲の表面もフラクタルだ。さらに人体の中にも、その構造を見ることができる。血管は大動脈から毛細血管に至るまで分岐を繰り返す。肺では、多くの肺胞に空気を行き渡らせるため、気管支が分岐している。これもフラクタルだ。

ロマネスコの写真からもわかるが、フラクタルはものすごく凸凹している。このため、長さあるいは表面積が莫大になるという性質がある。90年代当時から、世の中ではこの性質を生かした応用の可能性が活発に議論されていた。

「たとえば、活性炭はフラクタルの1つで、広い表面積でにおい物質を吸着することで脱臭効果につなげているわけですが、我々が扱う商品では、さまざまな場面で“濡れ”というものが重要になります。つまり、固体の表面が液体をはじくか、あるいは濡らすかという性質です。この“濡れ”の分野にフラクタル表面を応用できないか、と目を付けました」（恩田氏）

結論から先に言ってしまうと、先ほど示した「究極の水玉」は、フラクタル表面に乗せた水滴なのだ（他方、半球状の水滴は平らな表面に乗せたもの）。これは、フラクタル表面では超撥水現象が起きることを理論的に予測し、実証に成功したものだ。しかし、周囲はもちろん恩田氏自身も当初「本当にそんなことが起きるだろうか」と半信半疑だったという。

ただし、このヤングの式は平らな面において成立する。そこで恩田氏は、この固体表面の界面張力（固体‐液体の界面：緑色の矢印、固体‐気体の界面：赤色の矢印）を微細な凹凸構造をもつフラクタル表面の（みかけの）界面張力に置き換えることで、ヤングの式をアレンジすることを思いついた（図5）。

簡単のため、コッホ曲線で考えてみる。図6を上から追ってみてほしい。まず、１本の線分を3等分して、真ん中の線分を山型の２本の線分に置きかえる。この操作を繰り返すことによってコッホ曲線が得られる。1回の操作で線全体の長さは４／３倍になるから、この操作をｎ回繰り返して得られるコッホ曲線の粗さ因子は４／３のｎ乗になる（操作を無限回、繰り返すと「粗さ因子」は無限大になる ）。

恩田氏はこの考え方を一般のフラクタル表面に拡張した。そして、フラクタル表面の「粗さ因子」が（L／ｌ）^D-2 で表されることを導いた。ここでLは最初に用意した長い線分の長さ、ｌは等分を繰り返していって短くなった線分の長さである。そして、Dは次元を表している。この場合、Dの値は2と3の間の小数になる。面（2次元）と体積（3次元）の間の次元をもつのだ。

cosθ_f = （L/l）^D-2 　cosθ

これを言葉で表してみる。

〔フラクタル表面の接触角のコサイン〕＝〔フラクタル表面の粗さ因子〕×〔通常の平らな面での接触角のコサイン〕

高校数学に出てくる三角関数の知識だが、θが90度以下ではcosθは正の値に、90度以上だと負の値になる。一方で、フラクタル表面は莫大な表面積を有しているので粗さ因子（L／ｌ）^D-2は非常に大きい（たとえばL=100μm、l=1μm、D=2.5のとき（L／ｌ）^D-2=10となる）。

こうして上式の右辺は、正の値（θが90度以下）に大きな値を掛けてより大きなプラスになったり、負の値（θが90度以上）に大きな値を掛けてより大きなマイナスになったりする。左辺にある「フラクタル表面の接触角θ_fのコサイン」はそんな極端な値をとるのだ。

つまり、この式は「フラクタル表面はものすごく水に濡れるか、ものすごく水をはじくか」という対極的な2つの性質をもつことを示している。親水性の素材でできたフラクタル表面では、接触角θ_fは０に近づいて「超親水」になり、疎水性素材のフラクタル表面では接触角θ_fが180°に近づいて「超撥水」になるはずだ（図8）。

私たちはすでに「究極の水玉」を見た後なので、そう聞いても驚かないかもしれない。しかし、当時の恩田氏にとっては、自らが導いた式の意味することは、誰も見たことのない現象であり、半信半疑だった。周りにもほとんど信じてもらえなかったという。

ただ一人「信じてみよう」と言ってくれたのが、当時の基礎科学研究所の辻井薫所長だった。そして、現在ヘアケア研究所の四分一敬氏が実験をした結果、見事に撮影されたのが、あの「究極の水玉」というわけだ。